Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL

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• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Álgebra Linear
• ANO: 1
• LINGUA: pt
• AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
• MATERIA PRINCIPAL: Resolução de SEL e Inversão de matrizes
• DESCRICAO: equivalências com base no teorema das matrizes invertíveis
• DIFICULDADE: ***
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
• PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis, matriz quadrada, matriz transposta, matriz inversa, matrizes elementares, matriz identidade, existência e unicidade de solução, equivalência por linhas, colunas que geram \(R^n\)

Sejam \( A_{n \times n} \)uma matriz quadrada, \(A^T\) a sua transposta e, caso exista, \(A^{-1}\) a sua inversa. Selecione todas as afirmações verdadeiras.

A) as colunas de \(A^T\) geram \(\mathbb{R}^n\) sse o número de pivots de \(\text{A}\) é igual a \(\text{n}\);

B) \(A^{-1}\) é o produto de matrizes elementares sse existe pelo menos um \(\pmb{\text{b}}\) em \(\mathbb{R}^n\) tal que \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}\) não tem solução;

C) \(A^T\) é equivalente por linhas à matriz indentidade sse \(\text{A}\) tem uma inversa que é o produto de matrizes elementares;

D) as colunas de \(\text{A}\) não geram \(\mathbb{R}^n\) sse \(\text{A}\) é invertível;

E) Nenhuma das anteriores

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