Sistemas de equações diferenciais lineares

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
• ANO: 2
• LINGUA: pt
• AUTOR: Rui Miguel Saramago
• MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem
• DESCRICAO: Dadas duas soluções para um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, identificar os seus valores próprios, vectores próprios, e vectores próprios generalizados.
• DIFICULDADE: **
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
• PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, valor próprio, vector próprio

Seja \( \ \displaystyle \dfrac{d\overrightarrow{x}}{dt} = A \, \overrightarrow{x} \ \) um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, onde \( \ A \) é uma matriz \(4 \times 4\), tal que

\( \ \ \ \) \( \ \pmatrix{e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ -e^{-3t}} \ \) é solução do sistema

\( \ \ \ \) e que \( \ \pmatrix{e^{2t}(t-2) \\ e^{2t}(1-t) \\ e^{2t}(2t+2) \\ e^{2t}(-2t-1)} \ \) é solução do sistema

Então podemos concluir que:

A) \( \ -3 \) é valor próprio de \( \ A \).

B) \( \ \pmatrix{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1} \ \) é vector próprio de \( \ A \).

C) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-1 \\ 1 \\ -2 \\ 2} = \overrightarrow 0 \ \).

D) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-6 \\ 4 \\ 0 \\ 2} = \pmatrix{2 \\ -2 \\ 4 \\ -4} \ \).

E) nenhuma.