Raios de convergência de séries de potências

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
• ANO: 2
• LINGUA: pt
• AUTOR: Rui Miguel Saramago
• MATERIA PRINCIPAL: Séries de potências complexas
• DESCRICAO: Determinar raios de convergência e propriedades de algumas séries de potências complexas a partir da convergência de uma dada série.
• DIFICULDADE: **
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
• PALAVRAS CHAVE: séries de potências, funções ançíticas, funções holomorfas

Sabendo que a série de potências complexas \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^{2n} \) tem raio de convergência \( r \), com \( r \neq 0 \), podemos garantir que

A) \( f(z) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n^2} (z-z_0)^{n} \) tem derivada na origem.

B) A função \( f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} \) é analítica na origem.

C) \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_{n^2} (z-z_0)^{n} \) tem raio de convergência \( 0 \).

D) \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} \) tem raio de convergência \( 2r \).

E) Nenhuma das anteriores.