Plano inclinado com roldana

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Física
  • DISCIPLINA: Mecânica e ondas
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Pedro Brogueira
  • MATERIA PRINCIPAL: Movimento de Sistemas de Partículas
  • DESCRICAO: Plano inclinado com roldana
  • DIFICULDADE: ***
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 600 [s]
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
  • PALAVRAS CHAVE: Plano, inclinado, roldana, corda, constrangimentos


Ficheiro:.jpg
Falta imagem.


Duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas por um fio inextensível como indicado na figura. Considere a massa do fio e a inércia da roldana desprezáveis.

  • Represente separadamente as forças que actuam na massa \(m_1\) e

na massa \(m_2\).

Respostas

\( (falta imagem) \)

  • Escolha o melhor sistema de coordenadas para estudar o movimento de cada uma das massas.

Respostas

\( (falta imagem) \)

  • Escreva a Leis de Newton para cada uma das massas.

Respostas

  • \( m_1 a_{x,1} = 0 \)
  • \( m_1 a_{y,1} = T_1 - m_1 g \)
  • \( m_2 a_{x,2} = m_2 g \sin{\alpha} - T_2 \)
  • \( m_2 a_{y,2} = N - m_2 g \cos{\alpha} \)
  • Escreva as relações que relacionam o movimento das duas massas.

Respostas

  • \(\Delta y_1 = \Delta x_2\)

\(\Rightarrow a_{y,1}=a_{x,2}=a\)

A massa do fio é desprezável, logo a soma das forças em cada troço tem que ser zero (\(ma \simeq 0\)). Aliado a isto, a inércia da roldana também é desprezável, o que faz com que a tensão nos dois troços seja igual, de forma a anular o torque exercido na mesma (\(I\alpha \simeq 0\)).

\(\Rightarrow T_1 = T_2 = T\)

  • Resolva o sistema de equações que se obtém, determine a aceleração de cada massa e a tensão aplicada a cada uma.

Respostas

  • \(T = (1 + \sin{\alpha}) \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g\)
  • \(a = -\frac{g}{m_1 + m_2}(m_1 - m_2 \sin{\alpha})\)

Analise agora o comportamento do sistema em situações limite, nomeadamente:

  • \(\alpha = 0\)

Respostas

  • (falta imagem)
  • \(T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g\)
  • \(a = -\frac{m_1 g}{m_1 + m_2}\)

A aceleração é provodada apenas pelo peso da massa 1, mas a inércia é a das duas em conjunto.

  • \(\alpha = \frac{\pi}{2}\)

Respostas

  • (falta imagem)
  • \(T = 2 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g\)
  • \(a = -g\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\)

Nesta situação temos uma máquina de Atwood, a aceleração é proporcional à diferença dos pesos e a inércia é a dos dois corpos.

  • Remova a massa \(m_1\) do sistema e, em alternativa, considere que vai segurar a corda. Qual a intensidade da força que terá de fazer para manter o sistema em equilíbrio?

Respostas

  • \(F = m_2 g \sin{\alpha} \)
  • Em alternativa ao caso anterior, considere que remove a massa \(m_2\) do sistema e vai segurar a corda. Qual a intensidade da força que terá que fazer para manter o sistema em equilíbrio?

Respostas

  • \(F = m_1 g \)
  • Qual a relação entre as massas para que o sistema inicial esteja em equilíbrio?

Respostas

  • \(\frac{m_1}{m_2} = \sin{\alpha} \)