Pêndulo Mundial

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Introdução teórica

O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física.

Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .

O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.

(falta a imagem)

O equilíbrio de forças a actuar na massa é [math]P sen \theta = T[/math] onde [math]P = m g[/math] e [math]T = m a[/math]. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)

[math] - m g sen \theta = m l \frac{d^2 theta}{d t^2}[/math]

Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, [math]sen \theta \approx \theta[/math]) podemos escrever

[math] \frac{d^2 theta }{ d t^2} + \omega _0 ^2 = 0[/math] onde [math] \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }[/math]

E o periodo do movimento é

[math]T = \frac{omega }{ 2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }[/math]

que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.

No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.

Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:

A experiência em casa

A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:

(foto)

Ingredientes:

• Um yoyo que será o pêndulo;
• Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);
• Uma fita métrica na mesa para medir a posição;
• Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);
• Um ponto de fixação.

Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)

Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)

A experiência no e-lab

(consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)

O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude.

Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).

A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.

(vídeo do pêndulo a começar)

A sala de controlo é a seguinte:

A tabela de resultados obtida tem esta forma:

Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:

Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)

Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida

g = (4 pi^2 L)/T^2

Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:

g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}

Últimas considerações

• Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).
• Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.
• Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).
• Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.
• Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo
• Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe