Movimento Oscilatório
Metadata
- CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
- AREA: Física
- DISCIPLINA: Mecânica e ondas
- ANO: 1
- LINGUA: pt
- AUTOR: Pedro Brogueira
- MATERIA PRINCIPAL: Oscilações Harmónicas Simples / Lagrangeanos
- DESCRICAO: Movimento Oscilatório
- DIFICULDADE: ****
- TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1500 [s]
- TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 1800 [s]
- PALAVRAS CHAVE: Lagrangeano, Equação do movimento, Oscilações, Frequência, Momento de Inércia, Pendulo Físico
Considere o pêndulo representado na figura constituído por um disco de massa \(M=1\) kg e raio \(R=10\) cm, que roda livremente em torno do seu centro de massa e ao qual se encontra rigidamente fixado na periferia uma haste de massa desprezável. No outro extremo da haste encontra-se uma esfera de massa \(m=0.2\) kg e dimensões desprezáveis. A distância entre o centro do disco e a massa m é \(l=1\) m. O momento de inércia do disco em relação ao seu centro de massa é dado por \( I_{CM} = \frac{1}{2} MR ^2 \).
Dados:
\(g \simeq 10 \) m.s\(^{-2}\)
- Identifique os graus de liberdade e escreva o lagrangeano do sistema.
Respostas
O sistema tem um grau de liberdade descrito pela coordenada generalizada \( \theta \).
\( L = \frac{1}{2} I \Big(\frac{d \theta}{dt} \Big)^2 + mgl\cos{\theta}\)
com,
\(I = \frac{1}{2}MR^2+ml^2 \)
- Obtenha a(s) equação(ões) do movimento. Nota: Caso não consiga escrever o lagrangeano utilize qualquer outro método que saiba para chegar à(s) equação(ões) do movimento.
Respostas
\( \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgl}{I}\sin{\theta} = 0\)
Para pequenas oscilações \(\sin{\theta} \simeq \theta\)
\( \Rightarrow \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgl}{I}\theta = 0\)
- Qual é a frequência própria do movimento na aproximação de pequenas oscilações?
Respostas
\( \omega \simeq \sqrt{\frac{mgl}{I}} \simeq 3.12 \) rad.s\(^{-1}\)
- Sabendo que o pêndulo foi libertado de uma posição que faz 3º com a vertical sem velocidade inicial, determine a solução da equação de movimento.
Respostas
Para pequenas oscilações:
\( \theta (t) = \frac{pi}{60}\cos{\omega t}\)
\( \simeq 0.0524 \cos{3.12 t} \) rad