Movimento Oscilatório

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Física
  • DISCIPLINA: Mecânica e ondas
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Pedro Brogueira
  • MATERIA PRINCIPAL: Oscilações Harmónicas Simples / Lagrangeanos
  • DESCRICAO: Movimento Oscilatório
  • DIFICULDADE: ****
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1500 [s]
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 1800 [s]
  • PALAVRAS CHAVE: Lagrangeano, Equação do movimento, Oscilações, Frequência, Momento de Inércia, Pendulo Físico
Um pêndulo.

Considere o pêndulo representado na figura constituído por um disco de massa \(M=1\) kg e raio \(R=10\) cm, que roda livremente em torno do seu centro de massa e ao qual se encontra rigidamente fixado na periferia uma haste de massa desprezável. No outro extremo da haste encontra-se uma esfera de massa \(m=0.2\) kg e dimensões desprezáveis. A distância entre o centro do disco e a massa m é \(l=1\) m. O momento de inércia do disco em relação ao seu centro de massa é dado por \( I_{CM} = \frac{1}{2} MR ^2 \).

Dados:

\(g \simeq 10 \) m.s\(^{-2}\)


  • Identifique os graus de liberdade e escreva o lagrangeano do sistema.

Respostas

O sistema tem um grau de liberdade descrito pela coordenada generalizada \( \theta \).

\( L = \frac{1}{2} I \Big(\frac{d \theta}{dt} \Big)^2 + mgl\cos{\theta}\)

com,

\(I = \frac{1}{2}MR^2+ml^2 \)

  • Obtenha a(s) equação(ões) do movimento. Nota: Caso não consiga escrever o lagrangeano utilize qualquer outro método que saiba para chegar à(s) equação(ões) do movimento.

Respostas

\( \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgl}{I}\sin{\theta} = 0\)

Para pequenas oscilações \(\sin{\theta} \simeq \theta\)

\( \Rightarrow \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgl}{I}\theta = 0\)

  • Qual é a frequência própria do movimento na aproximação de pequenas oscilações?

Respostas

\( \omega \simeq \sqrt{\frac{mgl}{I}} \simeq 3.12 \) rad.s\(^{-1}\)

  • Sabendo que o pêndulo foi libertado de uma posição que faz 3º com a vertical sem velocidade inicial, determine a solução da equação de movimento.

Respostas

Para pequenas oscilações:

\( \theta (t) = \frac{pi}{60}\cos{\omega t}\)

\( \simeq 0.0524 \cos{3.12 t} \) rad