Máquina de Atwood com roldana
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Metadata
- CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
- AREA: Física
- DISCIPLINA: Mecânica e ondas
- ANO: 1
- LINGUA: pt
- AUTOR: Ana Mourão
- MATERIA PRINCIPAL: Momento de Inércia
- DESCRICAO: Máquina de Atwood com roldana
- DIFICULDADE: ***
- TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
- TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
- PALAVRAS CHAVE: Máquina, atwood, roldana, momento, inércia, rotação, corpo, rígido
Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.
- Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
\marginpar{\includegraphics{\path/maquinadeatwood}} \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{% }{ \minisec{Resolução:} Este problema é idêntico ao 3.6 já resolvido e parte da discussão aí feita aplica-se a este caso. A diferença reside agora na consideração do papel da roldana. Com efeito ao rodar, a roldana tem momento angular. A acção conjunta das duas forças $\vec{F}_i$ que se exercem em cada lado da roldana (cada uma de módulo igual à tensão exercida pela corda na massa respectiva), se não se equilibrarem, determinam a variação desse momento angular, isto é uma aceleração angular, $\alpha$. \\ \marginpar{ \begin{tikzpicture} { \begin{scope}[black,line width=2pt,->] % P \draw (-1,-1.9) -- node[left=4pt] {\textit{$\vec{P}_1$}} (-1,-2.9); \draw (1,-1.4) -- (1,-2.2) node[below] {\textit{$\vec{P}_2$}}; \end{scope} % Massas \begin{scope}[shape aspect=0.5, cylinder uses custom fill, cylinder end fill=red!50, cylinder body fill=red!25] \node[cylinder, rotate=90] at (-1,-1.5) {$m_1$}; \node[cylinder, rotate=90] at (1,-1.0) {$m_2$}; \end{scope} % Corda \draw[brown,line width=1.5pt] (-1,-1.0) -- (-1,1.5) arc[radius=1,start angle=180, end angle=0] -- (1,1.5) -- (1,0); \begin{scope}[green!70!black,line width=2pt,->] % F \draw (-1,1.5) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_1}$}} (-1,0.5); \draw (1,1.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_2}$}} (1,0.6); \end{scope} % Roldana \draw[line width=0.5pt,->] (-0.84,2.4) arc[start angle=120, end angle=170, radius=.7] node[left=2pt] {\textit{$\color{black}\alpha$}}; \fill[even odd rule, fill=orange!50] (0,1.5) circle (1); % (0,1.5) circle (0.7) (0,1.5) circle (0.15); \draw (0,1.5) -- node[below,] {\textit{$\color{black}R$}} (1,1.5); \draw[color=brown!80,line width=2pt] (0,1.5) -- (0,2.75); % \begin{scope}[red!70!black,line width=2pt,->] % T \draw (-1,-1) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_1}$}} (-1,0); \draw (1,-0.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_2}$}} (1,0.3); \end{scope} }; \begin{scope}[on background layer] \fill[yellow!20] (-2.5,-3) rectangle (2,2.8); \end{scope} \end{tikzpicture} } Retomando as equações do problema 3.6 mas considerando agora que $T_1$ e $T_2$ não são iguais ao contrário do que acontecia nesse problema, podemos escrever \begin{eqnarray} T_1 - m_1g &=& m_1 a_1 \label{R1} \\ T_2 - m_2g &=& -m_2 a_1 \label{R2} \end{eqnarray} onde incluimos já o facto da aceleração de ambas as massas ter o mesmo módulo mas sentidos opostos. Por outro lado, o efeito das forças $\vec{F}_i$ é \begin{equation} R F_1 - R F_2 = I\alpha \label{R3} \end{equation} onde $I$ é o momento de inércia. Se atendermos a que $\vec{F}_i = -\vec{T}_i$, precisamos só relacionar a aceleração $a_1$ com a aceleração angular $\alpha$ para podermos obter o valor de $a_1$. Para isso consideremos uma pequena variação, $ds$, da corda na roldana quando esta gira de um ângulo $d\phi$. Tem-se $ds = Rd\phi$, o que implica que $a_1 = R\alpha$.\\ Subtraindo (\ref{R1}) de (\ref{R2}), usando (\ref{R3}) e as relações acima, obtem-se \[ \frac{I}{R^2}a_1 + (m_1-m_2)g = - (m_1+m_2)a_1 \] usando o valor do momento de inércia para um disco em relação a um eixo central encontrado no problema \ref{pb:disco} obtemos \[ a_1 = - \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+m_r/2}g\,, \quad a_2 = -a_1 \] Comparando com os resultados do problema 3.6 vemos que a aceleração é menor devido à massa da roldana e à variação do seu momento angular.\\ \rule{\linewidth}{0.5pt} } \item Qual a aceleração angular da roldana? \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{% }{ \minisec{Resultado:} Da alínea anterior e da relação $a_1 = R\alpha$ vem \[\alpha = -{ m_1 - m_2 \over m_1 + m_2 +m_r/2}\frac{g}{R}\] \rule{\linewidth}{0.5pt} } \item Qual a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio? \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{% }{ \minisec{Resultado:} As massas têm de ser iguais: $m_1=m_2$\\ \rule{\linewidth}{0.5pt} } \item Considere $m_1 = \SI{200}{g}$ e $m_2 = \SI{100}{g}$. Calcule o valor das acelerações $a_1$ e $a_2$. Compare com a aceleração da gravidade. \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{% }{ \minisec{Resultado:} Substituindo valores, obtemos: \[ a_1 = -\frac{1}{6}g\,, \quad a_2 = \frac{1}{6}g\] \rule{\linewidth}{2pt} } \end{enumerate}
Respostas
\( (falta imagem) \)