Identificação de funções harmónicas

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Matemática
  • DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
  • MATERIA PRINCIPAL: Derivadas parciais
  • DESCRICAO: Identificação de funções harmónicas
  • DIFICULDADE: **
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
  • PALAVRAS CHAVE: funções de classe \(C^2\), função harmónica, equação de Laplace, derivadas de 2ª ordem

Sabendo que \(f: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}\), sendo uma função de classe \(C^2\), é uma função harmónica sse verifica a equação de Laplace\(\frac{\partial^2\text{f}}{\partial\text{x}^2}+\frac{\partial^2\text{f}}{\partial\text{y}^2}+\frac{\partial^2\text{f}}{\partial\text{z}^2}\text{=0}\). Indique todas as funções que são harmónicas.

A) \(\text{f(x,y,z)=}-x^2+y^2+z^2\)

B) \(\text{f(x,y,z)=}e^{\frac{1}{x^2-z^2}}\sin(y)\)

C) \(\text{f(x,y,z)=}\log\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

D) \(\text{f(x,y,z)=}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

E) Nenhuma das anteriores


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