Fórmulas integrais de Cauchy

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Matemática
  • DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
  • ANO: 2
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Rui Miguel Saramago
  • MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy
  • DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy.
  • DIFICULDADE: **
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
  • PALAVRAS CHAVE: função holomorfa, fórmulas integrais de Cauchy


Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos


A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)


B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)


C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente


D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente


E) Nenhuma das anteriores