Erros Experimentais

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Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação.

O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou metrologia. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.

Da mesma forma como o uso quase universal do Sistema Internacional de Unidades (SI) trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas.

Importa definir dois termos cruciais


Precisão e Exactidão

Na linguagem comum os termos precisão e exatidão (precision e accuracy em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma medida exacta requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter medidas precisas sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.


A precisão de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto.

A exatidão é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de erro experimental. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro.


Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.


Fontes de erro

Existem duas grandes contribuições para o erro experimental, uma de natureza sistemática e outra aleatória. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.

Os erros sistemáticos conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor exatidão desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de referência (calibração), pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos.

Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.

Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida. Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.

Em resumo:

  1. Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.
  2. Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:

[math] desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100 [/math]

  1. Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s
  2. Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.

Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.


Incerteza nas Grandezas Directas

A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um valor médio [math] \bar{x} [/math] (média aritmética), que pode ser considerado como o melhor valor obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N >>10) pode calcular-se o desvio padrão, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o melhor valor para a incerteza do valor médio, u (eq. 3) [math] u = \frac{s}{\sqrt{N}} [/math], , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”

[math] s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } [/math] (2)

[math] u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } [/math] (3)

O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: [math]\bar{x} \pm u[/math]. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo [math]\bar{x} \pm 1.96u[/math]. Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1< N< 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um majorante [math]\Delta x [/math], que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como [math]\bar{x} \pm \Delta x [/math] (Incerteza absoluta) ou na forma [math]\frac{\Delta x}{\bar{x}}[/math], em percentagem (Incerteza relativa).

Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for menor do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.


Incerteza nas Grandezas Indirectas

Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo [math]u_X[/math], [math]u_Y[/math] e [math]u_Z[/math], pode estimar-se a Incerteza [math]u_F[/math] da grandeza [math]F[/math] a partir de

[math]u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }[/math] (4)

Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 < N < 4), um majorante do erro da grandeza indirecta [math]\Delta F[/math] é calculável a partir de:

[math] \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z [/math](5)

onde [math] \Delta X [/math], [math] \Delta Y [/math], [math] \Delta Z [/math], são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.

Caso particular: para uma função racional (por ex. [math] F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c [/math], com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.

[math]\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}[/math] (6)

No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.


Representação de Resultados da Medição de Grandezas

O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.

Bons Exemplos: [math] R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu [/math]

Maus Exemplos: [math] B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg [/math]

Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares

A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual.

De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta [math]y = a + b \cdot x_i[/math] que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo [math](xi, yi)[/math] as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar [math](a, b)[/math], tal que [math]\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2[/math] seja mínimo.

No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor. Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função [math]\chi ^2 = F (a,b)[/math], dependente dos dois parâmetros [math](a, b)[/math], conduzem a duas equações:

[math] a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} [/math] [math] a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} [/math](7)

A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g OriginLab e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.

(vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL


Bibliografia

  • John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)
  • V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.