Dois corpos suspensos por uma haste

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo
  • AREA: Física
  • DISCIPLINA: Mecânica e ondas
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Pedro Brogueira
  • MATERIA PRINCIPAL: Oscilações Harmónicas Simples / Lagrangeanos
  • DESCRICAO: Dois corpos suspensos por uma haste
  • DIFICULDADE: Avançado
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1800 [s]
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2100 [s]
  • PALAVRAS CHAVE: Lagrangeano, Dinâmica, Equação do movimento, Momento de Inércia, Frequência, Oscilação
O sistema em estudo.

Considere o sistema representado na figura no plano vertical, constituído por dois corpos de massas m 1 = 0.5 kg e m 2 = 0.3 kg unidos por meio de uma haste rígida de comprimento 1.3 m e massa desprezável. O sistema oscila em torno do ponto de suspensão sem qualquer tipo de atrito. Considere λ 1 =0.9 m e λ 2 = 0.4 m. 

  • Identifique os graus de liberdade e escreva o lagrangeano do sistema.

Respostas

O sistema tem um grau de liberdade descrito pela coordenada generalizada \( \theta \).

\( L = \frac{1}{2} I \Big(\frac{d \theta}{dt} \Big)^2 + (m_1 \lambda_1 - m_2 \lambda_2) g \cos{\theta}\)

com,

\(I = m_1 \lambda_1^2 + m_2 \lambda_2^2 \)

  • O obtenha a(s) equação(ões) do movimento.

Respostas

\( \frac{d^2\theta}{dt^2} + (m_1 \lambda_1 - m_2 \lambda_2)\frac{g}{I}\sin{\theta} = 0\)

Para pequenas oscilações \(\sin{\theta} \simeq \theta \)

\( \Rightarrow \frac{d^2\theta}{dt^2} + (m_1 \lambda_1 - m_2 \lambda_2)\frac{g}{I} \theta = 0\)


  • Determine a frequência do movimento para pequenas oscilações.

Respostas

\( \omega \simeq \sqrt{(m_1 \lambda_1 - m_2 \lambda_2) \frac{g}{I}} \simeq 2.70 \) rad.s\(^{-1}\)


  • Como se alterava a frequência de oscilação para λ 1 = λ 2 ? E para o caso λ 1 = λ 2 e m 1 = m 2 ?

Respostas

Se \(\lambda_1=\lambda_2)

\( \Rigtharrow \omega \simeq \sqrt{(m_1 - m_2) \frac{lg}{2I}} \simeq 2.40 \) rad.s\(^{-1}\)


Se \(\lambda_1=\lambda_2\)

e \(m_1=m_2\)

\( \Rigtharrow \omega = 0 \)