Campo gradiente

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2
• ANO: 1
• LINGUA: pt
• AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2
• MATERIA PRINCIPAL:
• DESCRICAO:
• DIFICULDADE: easy
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
• PALAVRAS CHAVE:

Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}-\text{y}\\\text{x}-\text{y}\\\end{array}\right)\) e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}\\\frac{\text{y}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\frac{\text{z}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\end{array}\right)\). Então:

A)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)

B)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^2\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final

C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final

D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{z}=0\}\)

E)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{x}=0\text{,}\text{y}=0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final

F)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final

E)\(\text{$\unicode{f7c9}\backslash$mathbb$\{$R$\}{}^{\wedge}$3$\backslash$$\backslash\{$}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:x=0ey=0$\backslash\}\unicode{f7c0}$}\)

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(campoGradienteIntCurva)

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt