Cálculo diferencial e integral II

Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)

• Área de um triângulo 3D
• Conjuntos em \(R^2\)
• Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)
• Identificação do conjunto que representa um domínio
• Normas de matrizes e vetores
• Propriedades do produto interno e externo

Funções de \(R^n\) em \(R^m\): limite e continuidade

• Transformação de um quadrado
• Identificação do gráfico com base na representação algébrica
• Curvas de nível de funções de 2 variáveis
• Identificar a função a partir de curvas de nível
• Cálculo de limite de função vetorial
• Superfície paramétrica
• Continuidade em \(R^2\)
• Representação gráfica de campo vetorial

Funções de \(R^n\) em \(R^m\): diferenciabilidade

• Equação do plano tangente
• Normal ao plano tangente
• Curva paramétrica da velocidade

Derivadas parciais

• Derivada parcial de função vetorial
• Identificar gráficos das derivadas parciais
• Derivada direcional
• Identificação de funções harmónicas
• Funções que satisfazem a equação de onda

Teoremas da função inversa e da função implícita

• Invertibilidade numa vizinhança

Extremos condicionados

• Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)
• Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)
• Classificação de formas quadráticas

Integrais múltiplos: Teorema de Fubini

• Integral em coordenadas cartesianas
• Cálculo de integral triplo sobre um paralelepípedo
• Cálculo de integral duplo sobre retângulo
• Integral triplo sobre pirâmide
• Mudança da ordem de integração
• Integral duplo em coordenadas polares

Teorema de mudança de variáveis

• Mudança da ordem de integração polares

Aplicações ao cálculo de grandezas físicas

• Valor médio de uma função num paralelepípedo
• Cálculo de volume de sólido de revolução

Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais

• Comprimento de curva paramétrica
• Integral de curva parametrizada

Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha

• Integral de linha do campo gradiente

Campos gradientes e potenciais escalares

• Identificação gráfica do campo gradiente
• Linhas de fluxo
• Gradiente, rotacional e divergência
• Campos conservativos em \(R^3\)
• Cálculo de Laplaciano vetorial

Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais

• Área de um triângulo 3D
• Area de superfície de revolução

Teorema da Divergência e teorema de Stokes

• Cálculo de fluxos através superfície

Complementos

• Cálculo de forma diferencial