Cálculo de fluxos através superfície

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
• ANO: 1
• LINGUA: pt
• AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
• MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
• DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
• DIFICULDADE: ***
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
• PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes

Seja S a superfície \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}\) e \(\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) uma função de classe \(\text{C}^1\) tal que \(\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}\) onde \(\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A) \(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

B) \(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.

C) \(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.

D) \(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).

E) Nenhuma das anteriores

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