Órbitas e túneis

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Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Física
  • DISCIPLINA: Mecânica e ondas
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Ana Mourão
  • MATERIA PRINCIPAL: Forças Externas
  • DESCRICAO: Órbitas e Túneis
  • DIFICULDADE: ***
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 900 [s]
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 1800 [s]
  • PALAVRAS CHAVE: aceleração, massa, força, externa, gravidade, órbita, interior, Terra
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Considere a Terra uma esfera de raio \(R_T\), massa \(M_T\) e densidade constante. A força gravítica sobre um corpo de massa m situado num ponto no interior da Terra a uma distância r do centro depende unicamente da massa incluída numa esfera de raio r.

  • Qual a expressão para a força gravítica a que está sujeito um corpo de massa \(m\) situado num ponto no interior da Terra a uma distância \(r\) do centro da Terra?

Respostas

  • \( \vec{F_g} = -G \frac{M_T m}{R_T^3} r \, \vec{e_r}\, \)
  • Represente esquematicamente a dependência do módulo da força gravítica a que está sujeito um corpo de massa \(m\) sujeito ao campo gravitacional da Terra em função da distância r ao centro da mesma.

Considere no mesmo gráfico os casos \( r < R_T \) e \( r > R_T \).

Respostas

  • (Falta imagem)
  • Suponha que era possível construir um túnel circular de raio \(r\), concêntrico com o centro da Terra, onde se pode deslocar sem atrito com o ar um robot. Qual a velocidade que deveríamos imprimir ao robot para que o seu movimento tivesse duração infinita? Dê a resposta em função de \(r\).

Respostas

  • \( v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T^3}} r\)
  • Qual a velocidade de uma nave em órbita sabendo que \(r\) é a distância ao centro da Terra?

Respostas

  • \( v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} \)
  • Compare o modo como nas duas situações anteriores a velocidade depende de \(r\).

Respostas

  • Dentro da Terra (\( r < R_T \)), \(v \propto r\), logo \(v\) cresce com \(r\).
  • Fora da Terra (\( r > R_T \)), \(v \propto \frac{1}{\sqrt{r}} \), logo \(v\) decresce com \(r\).